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[ピタゴラス数]
ピタゴラスの定理x^2+y^2=z^2を満たす
自然数
の組(x,y,z)を
ピタゴラス数
といいます.
特に,x,y,zの最大公約数が1であるものを原始的といいます.
例えば,(3,4,5),(5,12,13)などがそうです.
このような組は無限に存在しますが,すべての原始的なピタゴラス数を導出する一般式を求めてみます.
まず,次の等式を用意します.
(m^2-n^2)^2+4m^2n^2=(m^2+n^2)^2
⇔(m^2-n^2)^2+(2mn)^2=(m^2+n^2)^2
ここで,m,nを整数とすると,
m^2-n^2,2mn,m^2+n^2も整数より,
(x,y,z)=(m^2-n^2,2mn,m^2+n^2)
…(＊)
あとは,(＊)に適当な整数m,nを入れればオッケーです.
(m,n)=(2,1)のとき,3^2+4^2=5^2
(m,n)=(3,2)のとき,5^2+12^2=13^2
(m,n)=(4,1)のとき,15^2+8^2=17^2
(m,n)=(4,3)のとき,7^2+24^2=25^2
(m,n)=(5,4)のとき,9^2+40^2=41^2
■ピタゴラス数の性質
①x,y,zのうち少なくとも1つは3の倍数
②x,y,zのうち少なくとも1つは4の倍数
③xyzは60の倍数
(背理法で証明)
単にピタゴラス数をいくつか求めるだけなら,他にもやり方はあります.
奇数列の和を利用します.
1+3+5+…+(2n-1)=n^2
1+3+5+7
+
9
=5^2
4^2
+
3^2
=5^2
∴ (3,4,5)
1+3+5+…+23
+
25
=13^2
12^2
+
5^2
=13^2
∴ (5,12,13)
1+3+5+…+47
+
49
=25^2
24^2
+
7^2
=25^2
∴ (7,24,25)
1+3+5+…+79
+
81
=41^2
40^2
+
9^2
=41^2
∴ (9,40,41)
奇平方数で止めるところがミソです.
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