問題
ある人が、豆を何粒か持っています。これらの豆粒を、
①偶数個持っていたら半分を他人にあげる
②奇数個持っていたら、持っている数に１を足した数の半分を他人にあげる
という操作を繰り返したら、７回操作を繰り返したところで持っていた豆がなくなりました。
この人が持っていた豆の数として考えられるのは（ ）粒以上（ ）粒以下です。 （武蔵中）
操作の状況を理解するために、まずは具体的な数で実験してみましょう！
たとえば、、
１８個（偶数個）なら、１８÷２＝９個になるので、
１回の操作で半分になります。
１９個（奇数個）なら、（１９＋１）÷２＝１０個減って９個になるので、
１回の操作で１を引いて半分にした数になります。
はじめ持っていた数が１８個なら、１８→９→４→２→１→０で、５回の操作でなくなります。
はじめ持っていた数が１９個なら、１９→９→４→２→１→０で、５回の操作でなくなります。
ということは、７回の操作で豆がなくなるような状況を、
はじめ持っていた数が偶数個の場合と奇数個の場合で場合分けをして考える必要があって大変です。
そこで、
２進法を使って考える
と、かなり楽になります。どういうことか説明します！
１８、９、１９を２進法で表すと、
１８＝１００１０
(2)
、９＝１００１
(2)
、１９＝１００１１
(2)
となって、偶数を２進法で表すと末尾が０になって、それを２で割った数は末尾の０が消えます。
奇数を２進法で表すと末尾が１になって、これから１を引くと末尾は０になって、さらに２で割るのでやはり末尾の０が消えます。
このように、２進法で考えると、１回の操作で末尾の数が消えることになります。 ・・・☆
だから、はじめ持っていた数が偶数個の場合と奇数個の場合で場合分けをして考える必要がありません。
------------結局これだけ↓------------
☆より、７回の操作で豆がなくなるようにするには、
はじめ持っていた豆の数は
２進法だと７桁であればいい（１回の操作で末尾の１桁が消えるので）
ことになります。
だから、１００００００
(2)
～１１１１１１１
(2)
の範囲。
１００００００
(2)
を１０進法に戻すと、１×６４＝６４
１１１１１１１
(2)
を１０進法に戻すと、１×６４＋１×３２＋１×１６＋１×８＋１×４＋１×２＋１＝１２７
となって、、はじめ持っていた豆の数は
６４粒以上１２７粒以下
が答え。
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