問題

3以上9999以下の奇数aで、a2−aが10000で割り切れるものをすべて求めよ。  (2005 東京大)


ちょっとずつ崩していくイメージで、aの候補を絞り込んでいきましょう!


2−aが10000で割り切れる

   ↓

2−aが10000の倍数
  
   ↓

2−a=a×(a−1)=10000×●=2×2×2×2×5×5×5×5×●  ←10000を素因数分解

   ↓

aとa−1は連続する整数(互いに素)で、aは奇数なので、a−1は偶数

aは奇数なので2を約数に持たないので、a−1が16(=2×2×2×2)を約数に持つ(a−1=16の倍数)

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=奇数=5×5×5×5×▲=625×▲の形で、▲=1、3、5、7、・・・、15  ←625×15=9375で9999以下だからOKで、625×17=10625で9999を越えてしまうから!

a−1=16の倍数

(※注意)a−1が5を約数に持たず、a=5×5×5×5×▲となる理由は、aとa−1は互いに素(最大公約数が1)だから

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−1=625×▲−1=(16×39+1)×▲−1=16×39×▲+▲−1=16の倍数  ←625より小さい16の倍数で、もっとも大きいものは16×39=624

   ↓

16×39×▲+▲−1=16の倍数だから、−1が16の倍数

▲=1、3、5、7、・・・15のうちで、これをみたすのは、▲=のみ

   ↓

a=625×▲=625×625 ・・・(答え)





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