問題

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ、cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ

を証明せよ。  (1999 東京大)


三角関数の加法定理というもの。ふつうは、距離の公式かベクトルを使ってゴチャゴチャして証明するけど。
図形的意味を考えて証明してみます。

その前に、、最低限の知識。サイン、コサインの定義だけ(*^ー^)ノ♪





図形的意味を考えれば、一目瞭然!!
青の直角三角形の上に緑の直角三角形を乗せて、垂線AGと垂線DEを引きます。
このとき、ABの長さを1とすると、AGとBGの長さを表せばいいことになります。



sin(α+β)=AG=AE+DC=sinαcosβ+cosαsinβ

cos(α+β)=BG=BC−DE=cosαcosβ−sinαsinβ


これなら小学生にも十分理解できますね。


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