問題

太郎さんは妻とパーティに参加しました。
そのパーティには、太郎さん夫婦を含め4組の夫婦(計8人)が参加していました。
参加者同士で握手を交わしますが、どの人も自分の妻とは握手をせず、同じ人とは2回握手をしませんでした。
その後、太郎さんが自分の妻を含め7人に握手を何回したか尋ねたところ、どの人も異なる回数でした。
さて、太郎さんは握手を何回したでしょう?


問題の条件から、まずわかることとして、、

握手の回数が最も多い人は6回(自分と妻を除く)です。
なぜなら、太郎さん以外の7人はどの人も異なる回数なので0〜6回の人が一人ずついることになるから。


こういう問題では、あれこれ考えるよりも、条件を視覚化することが最良の策。
それでは、8人を点A・B・C・D・E・F・G・Hで表し、点と点を結んで(握手を交わさせて)いきます。

図1でAが6回としてスタートすると、Aと結ばれていないBはAの妻です。
すると、B以外の人は全員1本結ばれているので、0回の人はBしかありえません。この時点でAは6回、Bは0回と確定。



図2でCが5回とします。Cと結ばれていないDはCの妻です。
すると、D〜HでD以外は2本結ばれているので、1回の人はDしかありえません。この時点でCは5回、Dは1回と確定。



図3でEが4回とします。Eと結ばれていないFはEの妻です。
すると、F〜HでF以外は3本結ばれているので、2回の人はFしかありえません。この時点でEは4回、Fは2回と確定。
つまり、残ったGとHは夫婦でそれぞれ3回ということになります。



以上整理すると、A(6回)とB(0回)、C(5回)とD(1回)、E(4回)とF(2回)、G(3回)とH(3回)はそれぞれ夫婦ということがわかりました。
ということは、太郎さんはGかHのどちらかで、握手の回数は3回が答え。



※拡張※

この問題で、もし100組の夫婦の場合でも、同様に考えれば、、
0〜198回の人が一人ずついて、太郎さんの握手の回数は198÷2=99回ということになりますね。


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