*答え*
この問題で日本地図に意味はありません。どんな地図でもＯＫ！
だから答えだけならすぐにわかりますが、、どんな地図の場合でも成り立つ理由を説明するとなると難しい問題。
まず、わかることとして、、
「奇数個の隣県を持つ県の県境線は奇数本、偶数個の隣県を持つ県の県境線は偶数本」であるということ。
このことから、偶奇性で考える問題であることを見抜けるかが鍵。
偶数＋偶数＝偶数
偶数＋奇数＝奇数
奇数＋奇数＝偶数
そこで、
奇数個の隣県を持つ県をキ１、キ２、キ３、・・・とし、それぞれの県境線の本数を＜キ１＞、＜キ２＞、＜キ３＞、・・・
偶数個の隣県を持つ県をグ１、グ２、グ３、・・・とし、それぞれの県境線の本数を＜グ１＞、＜グ２＞、＜グ３＞、・・・
県境線の総本数をＮとでも表しておくとしましょう。
すると、
（＜キ１＞＋＜キ２＞＋＜キ３＞＋・・・）＋（＜グ１＞＋＜グ２＞＋＜グ３＞＋・・・）＝２×Ｎ ←すべての県境線をダブって数えることになるのでＮの２倍
この式で、理由の説明は終了しています(^^)
＜グ１＞＋＜グ２＞＋＜グ３＞＋・・・は偶数、２×Ｎも偶数なので、＜キ１＞＋＜キ２＞＋＜キ３＞＋・・・が偶数と決まります。
ということは、、＜キ１＞、＜キ２＞、＜キ３＞、・・・のそれぞれは奇数なので、＜ ＞が偶数個（←これ！！）でないと、＜ ＞の合計が偶数にはなりません。
だから、答えは偶数