問題

次のように、輪ゴムを立方体の箱にかけます。

  • 輪ゴムは立方体の辺と直角に交わる


  • 向きが同じ輪ゴムは重ならない


  • かけた輪ゴムどうしの交点の個数について考えます。例えば、3本の輪ゴムを下の図のようにかけたとき、交点は4個です。



    次の問いに答えなさい。


    (1)3本輪ゴムをかけるとき、交点は最も多くて何個できますか。

    (2)5本の輪ゴムをかけたところ、交点は12個ありました。さらに3本の輪ゴムをかけたら、

      交点は全部で何個になりますか。最も多い場合と、最も少ない場合の交点の個数を答えなさい。

    (3)100本の輪ゴムをかけるとき、交点は最も多くて何個できますか。        (筑駒中 2006年)



    *答え&解説*

    こんなん難しく考え出したらドツボなんで、、

    直感的・バランス的に考えて、答えに直線で到達するような感覚を研ぎ澄ませていきますლ(´ڡ`ლ)


    (1)

    交点の数をなるべく多くしたいということは、3本の輪ゴムが互いに交わるようにかければいい。これは当たり前。

    別の言い方をすると、3方向(たて、横、高さ)の輪ゴムを均等にするということです。

    だから、次の図のようになり、交点は6個




    (2)

    まず5本の輪ゴムのかけ方から考える必要があります。すると、次の図のような(あ)〜(お)が考えられます。

    このうち、交点が12個になるのは(う)です。

    これに、さらに3本の輪ゴムをかけるわけですが、3方向(たて、高さ、横)の輪ゴムが均等なほど交点の個数は多くなることがポイント。

    これがこの問題の最大のポイントであり、難しいところでもあるわけですが、いくつか試してみれば気付きます。

    だから、最も多い場合は(イ)のように3方向が「3本、2本、3本」でなるべく均等に、最も少ない場合は(ロ)のように3方向が「0本、2本、6本」でバラバラにすればOK!

    したがって、最も多い場合はもとの12個から30個増えて42個、最も少ない場合はもとの12個から12個増えて24個です。




    (3)

    これも(2)と同じように考えましょう。3方向(たて、高さ、横)の輪ゴムをなるべく均等にすればいいので、

    次の図のように、「33本、33本、34本」でかけて、交点の個数は(33×33+33×34+33×34)×2=6666個





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