問題

次のように、輪ゴムを立方体の箱にかけます。

  • 輪ゴムは立方体の辺と直角に交わる


  • 向きが同じ輪ゴムは重ならない


    • かけた輪ゴムどうしの交点の個数について考えます。例えば、３本の輪ゴムを下の図のようにかけたとき、交点は４個です。



    次の問いに答えなさい。


    （１）３本輪ゴムをかけるとき、交点は最も多くて何個できますか。

    （２）５本の輪ゴムをかけたところ、交点は１２個ありました。さらに３本の輪ゴムをかけたら、

    　　交点は全部で何個になりますか。最も多い場合と、最も少ない場合の交点の個数を答えなさい。

    （３）１００本の輪ゴムをかけるとき、交点は最も多くて何個できますか。　　　　　　　　（筑駒中　２００６年）



    *答え＆解説*

    こんなん難しく考え出したらドツボなんで、、

    直感的・バランス的に考えて、答えに直線で到達するような感覚を研ぎ澄ませていきますლ(´ڡ`ლ)


    （１）

    交点の数をなるべく多くしたいということは、３本の輪ゴムが互いに交わるようにかければいい。これは当たり前。

    別の言い方をすると、３方向（たて、横、高さ）の輪ゴムを均等にするということです。

    だから、次の図のようになり、交点は６個




    （２）

    まず５本の輪ゴムのかけ方から考える必要があります。すると、次の図のような（あ）〜（お）が考えられます。

    このうち、交点が１２個になるのは（う）です。

    これに、さらに３本の輪ゴムをかけるわけですが、３方向（たて、高さ、横）の輪ゴムが均等なほど交点の個数は多くなることがポイント。

    これがこの問題の最大のポイントであり、難しいところでもあるわけですが、いくつか試してみれば気付きます。

    だから、最も多い場合は（イ）のように３方向が「３本、２本、３本」でなるべく均等に、最も少ない場合は（ロ）のように３方向が「０本、２本、６本」でバラバラにすればＯＫ！

    したがって、最も多い場合はもとの１２個から３０個増えて４２個、最も少ない場合はもとの１２個から１２個増えて２４個です。




    （３）

    これも（２）と同じように考えましょう。３方向（たて、高さ、横）の輪ゴムをなるべく均等にすればいいので、

    次の図のように、「３３本、３３本、３４本」でかけて、交点の個数は（３３×３３＋３３×３４＋３３×３４）×２＝６６６６個





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