今回は消費税について考える問題。


問題

買い物をするときにかかる消費税は売り値の5%で、1円未満は切り捨てる。
例えば、売り値が219円のものを買うと10円の消費税がかかり、229円支払う。
売り値が220円のときは231円支払う。したがって230円は消費税込みの金額には現われない。
消費税込みの金額に現われないもののうち1000円に最も近いものは(  )円である。     (2003年 灘中)


消費税込みの金額に現われない金額とはどういうときに起こるのか?を考える問題です。

1.05=21/20より、売り値が20の倍数のとき切り捨てがありません。

売り値 → 消費税込みの金額



19円 → 19×1.05=19.95(19円)
20円 → 20×1.05=21円 ←20円とびこえた
21円 → 21×1.05=22.05(22円)


39円 → 39×1.05=40.95(40円)
40円 → 40×1.05=42円 ←41円とびこえた
41円 → 41×1.05=43.05(43円)


つまり、売り値が20の倍数のとき一気に2円上がってしまうので、消費税込みの金額として現われない金額ができてしまうわけです。

だから、、20円、41円、62円、・・・が現われず、消費税込みの金額として現われない金額=21の倍数−1とわかります。


あとは1000に近い数を探せばOK

1000÷21=47余り13より、答えは、21×48−1=1007円




では、もう1問。こんなことを考えてみたいと思います。

問題

買い物をするときにかかる消費税は売り値の8%で、1円未満は切り捨てる。
1000円以下の金額のうち、消費税込みの金額として現われない金額は何通りあるか。


1.08=27/25より、売り値が25の倍数のとき切り捨てがありません。

売り値 → 消費税込みの金額



24円 → 24×1.08=25.92(25円)
25円 → 25×1.08=27円 ←26円とびこえた
26円 → 26×1.08=28.08(28円)


49円 → 49×1.08=52.92(52円)
50円 → 50×1.08=54円 ←53円とびこえた
51円 → 51×1.08=55.08(55円)


だから、、26円、53円、80円、・・・が現われず、消費税込みの金額として現われない金額=27の倍数−1で、

1000÷27=37余り1より、「37通り」としたら間違い!!


8%のときは、「切り捨てなしのとき」以外にも、消費税込みの金額として現われない金額があります。

1÷0.08=12.5より、、

売り値 → 消費税込みの金額



12円 → 12×1.08=12.96(12円)
13円 → 13×1.08=14.04(14円) ←13円とびこえた
14円 → 14×1.08=15.12円(15円)


24円 → 24×1.08=25.92(25円)
25円 → 25×1.08=27円 ←26円とびこえた
26円 → 26×1.08=28.08(28円)


37円 → 37×1.08=39.96(39円)
38円 → 38×1.08=41.04(41円) ←40円とびこえた
39円 → 39×1.08=42.12円(42円)


49円 → 49×1.08=52.92(52円)
50円 → 50×1.08=54円 ←53円とびこえた
51円 → 51×1.08=55.08(55円)


だから、、消費税込みの金額として現われない金額は、

13円26円40円53円67円80円94円107円、・・・


このように1円〜108円までの中に8個(108で割ると余りが13、26、40、53、67、80、94、107となる数)あり、
このあとも108を1周期として同数個現われるから、1000÷108=9余り28より、9周期分と10周期目の28番目まで。

ということで、、答えは、9×8+2=74通り


≪別解(逆から考えてみる)≫

逆に、消費税込みの金額として“現われる”金額から考えてみます。

1001÷1.08=926.8…
926×1.08=1000.08(1000円)

1×1.08
2×1.08
3×1.08


926×1.08

の926通りは、順に1.08ずつ増えていきますが、間が1以上はなれるので、消費税込みの金額がすべて異なります。

つまり、消費税込みの金額として現われる金額は926通りなので、現われない金額は1000−926=74通り
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