今回は、整数のとくに素数に関する傑作問題。


問題

相異なる7以下の正の整数a,b,c,d,e,f,gを用いて

a×b×c×d+e×f×g

と表せる素数をすべて求めなさい。     (日本数学オリンピック予選)



a×b×c×d+e×f×g=素数となるように、

{1,2,3,4,5,6,7}を組@{a,b,c,d}と組A{e,f,g}に、どのように分ければよいかという問題です。


一見、難しそうな問題ですが、着眼点が大切です。

素数ということは・・・、で注意して分けていくと


2,4,6が同じ組にいないと、a×b×c×de×f×gが偶数になってしまい、

3,6が同じ組にいないと、a×b×c×de×f×gが3の倍数になってしまうので、

組@{2,3,4,6}と組A{1,5,7}と決まります。



このとき、2×3×4×6+1×5×7=179ですが、これが素数か確かめます。

14×14=196なので、13以下の素数「2,3,5,7,11,13」で割り切れないかを確かめればOK(→※注※)

2×3×4×6+1×5×7より、明らかに「2,3,5,7」では割り切れない。

179÷11=16.2・・・より、11でも割り切れない。

179÷13=13.7・・・より、13でも割り切れない。


だから、、答えは179



※注※

整数☆が√☆を越えないすべての素数で割り切れなければ☆は素数。

例)

91→√91=9.・・・→2,3,5,7のうち7で割り切れるので素数ではない。

97→√97=9.・・・→2,3,5,7のいずれでも割り切れないので素数。

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