今回は平方数と立方数の問題の考え方について書きます。


★平方数とは自然数の2乗の数のこと。
1(=1×1)、4(=2×2)、9(=3×3)、16(=4×4)、25(=5×5)、・・・

★立方数とは自然数の3乗の数のこと。
1(=1×1×1)、8(=2×2×2)、27(=3×3×3)、64(=4×4×4)、125(=5×5×5)、・・・



問題1

nが自然数のとき、n(n+2)は平方数ではないことを示せ。


nが自然数のとき、n(n+2)は明らかに自然数です。
では、「これが平方数ではないとはどういうことか?」から考えてみましょう。

たとえば、4と9の間に平方数はありません。当たり前ですが、連続する平方数の間に平方数はありません。
つまり、「連続する平方数の間にある数ということ」を示せばいいわけです。

だから、不等式ではさみうちにすればOK!!

2n(n+2)=n2+2n<n2+2n+1=(n+1)2

すると、2(n+1)2は連続する平方数で、その間に平方数はないので、n(n+2)≠平方数



今度はもう少し難しい。

問題2

mは自然数で、m3+3m2+2m+6は立方数である。このとき、mを求めよ。   (一橋大)


回りくどいやり方もあるでしょうが…。発想一発で解いてみたいと思います。

3+3m2+2m+6が立方数ということは、、これを両隣の立方数ではさめるはず。

使う公式

(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3

33+3m2+2m+6<(m3+3m2+2m+6)+(3m2+10m+2)=m3+6m2+12m+8=(m+2)3で、

3(m+2)3の間にある立方数は、(m+1)3だけです。

だから、、3+3m2+2m+6(m+1)3

あとは、これを解けばOK

3+3m2+2m+6=m3+3m2+3m+1 ⇒ 2m+6=3m+1 ⇒ m=5




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