今回はちょっとした数遊び(*^3^)〜♪

問題1

(1)12345679×81を計算しなさい。

(2)111111を素因数分解しなさい。

(3)111111111(1が9個)は99の倍数か答えなさい。

(4)101010101を1以外の2つの整数の積の形で表しなさい。


とりあえず、必要最低限の知識から。倍数の見分け方。

  • 3の倍数
  • …各位の数の和が3の倍数  (例)111111→1+1+1+1+1+1=6
  • 9の倍数
  • …各位の数の和が9の倍数  (例)6156→6+1+5+6=18
  • 7の倍数
  • …十の位以上の数から一の位の数の2倍を引いた数が7の倍数  (例)371→37−2×1=35
  • 11の倍数
  • …最上位の位の数から各位の数の差と和を交互に繰り返した数が11の倍数  (例)275→2−7+5=0  7194→7−1+9−4=11


    *答え*

    (1)12345679(欠8数)の性質を上手く利用するおもしろい計算問題。

    12345679×81=12345679×9×9=12345679×(10−1)×9=(123456790−12345679)×9=111111111×9=999999999


    (2)ふつうに111111を3で割って、7で割って、11で割って・・・とやってもいいんですが、、
    111111÷3÷7÷11=481で、481という数がやっかいなので、1001の力を借りてやってみます。

    111111=111×1001=(3×37)×(11×91)=3×7×11×13×37


    (3)111111111(1が9個)は9の倍数だけど、11の倍数ではないから、99の倍数ではない。


    (4)101010101は、3でも7でも11でも割り切れない。。なかなか約数は見つかりそうにない。

    そこで、101010101に11を掛けて、一連数にすると扱いやすくなります。
    101010101×11=1111111111(1が10個)=11111(1が5個)×100001
    ということは、11111は11で割り切れないので、100001が必ず11で割り切れるはず。
    だから、101010101=11111×100001÷1111111×9091

    このようにして、11の力を借りるわけです。この辺は数に対する感覚で、普段からの数遊びがものをいう感じ。




    問題2

    自然数nに対し、(10−1)/9=111・・・111(1がn個並ぶ)を<n>で表す。たとえば<1>=1、<2>=11、<3>=111である。

    (1)mを0以上の整数とする。<3>は3で割り切れるが、3m+1では割り切れないことを示せ。

    (2)nが27で割り切れることが、<n>が27で割り切れるための必要十分条件であることを示せ。   (2008 東京大・理系)


    これも一連数に関する問いです。
    111・・・111が合成数なのか?素数なのか?など色々興味深いわけですが、さらに興味のある人はその辺もぜひ研究してみてください。

    *答え*

    (1)これは簡単な帰納法の問題。

    (ア)m=0のとき、<3>=<1>=1は3=1で割り切れるが、3=3では割り切れないことは明らかです。

    (イ)m=kのとき、<3>=(10−1)/9は3で割り切れるが、3k+1では割り切れないと仮定して、
    m=k+1のとき、<3k+1>=(10k+1−1)/9={(10−1)}/9=(10−1){(10+10+1}/9<3>{(10+10+1}となりますが、
    {(10+10+1}の{ }内を計算したときの各位の数の和は3となるので、これが3で割り切れるが9では割り切れないことを使って、
    <3k+1>は3k+1で割り切れるが、3k+2では割り切れないことがいえますね。

    以上、(ア)(イ)を合わせて題意を示すことができました。




    (2)「nが27で割り切れる⇒<n>が27で割り切れる」…(☆)は簡単に示せますが、「<n>が27で割り切れる⇒nが27で割り切れる」…(★) を示すのが難しいです。

    まず、(☆)を示します。

    <27>=111・・・111(1が27個)=111・・・111(1が9個)×1000000001000000001
    =111×1001001×1000000001000000001=(3の倍数)×(3の倍数)×(3の倍数)=(27の倍数)

    <54>=111・・・111(1が54個)=<27>×1000000000000000000000000001
    =(27の倍数)×1000000000000000000000000001=(27の倍数)

    ・・・・・

    以下同様にして、nが27の倍数ならば<n>は<27>の倍数となるので<n>は27の倍数で、(☆)が示せました。


    つぎに、(★)を示します。

    <n>が27の倍数ということは、<n>=111・・・111(1がn個)が9の倍数です。
    さらに、<n>の各位の数の和はnなので、9の倍数の判別法よりnも9の倍数ということになるので、n=9mと置けます。

    すると、<n>=(109m−1)/9={(10−1}/9=(10−1){(10m−1+(10m−2+・・・+10+1}/9<9>{(10m−1+(10m−2+・・・+10+1}となりますが、
    (1)より、<9>は9の倍数であるが、27の倍数ではないので、<n>が27の倍数のとき、{(10m−1+(10m−2+・・・+10+1}が3の倍数ということになります。

    ここで、{(10m−1+(10m−2+・・・+10+1}の{  }内を計算したときの各位の数の和はmとなるので、mが3の倍数といえます。

    ということは、n=9m=9×(3の倍数)=(27の倍数)という流れになって、(★)が示せました。


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