今回は注意しないと引っかかってしまう問題。

問題

最小の内角が120度の多角形があります。
それに続く内角がその前の角より5度ずつ大きい多角形を作るとき、その図形は何角形になりますか。


n角形として、内角の和を2通りで表すことから。外角でやってもOK
左辺を等差数列の和、右辺をn角形の内角の和として、、

使う公式

等差数列のn番目の数=初めの数+(n−1)×差

等差数列の和=(初めの数+最後の数)×個数÷2

120+125+130+・・・+(120+(n−1)×5)=180×(n−2)
120(120+(n−1)×5)}×n÷2=180×(n−2)
240n+5n2−5n=360n−720
2−25n+144=0
(n−9)(n−16)=0
n=9,16

ここで、答えを「9角形と16角形」としてしまうと間違い!!


多角形の内角ということに注意しなければいけないので、、

n=9のとき
9個の内角は順に「120・125・130・135・140・145・150・155・160」

n=16のとき
16個の内角は順に「120・125・130・135・140・145・150・155・160・165・170・175・180・185・190・195」
これは、13番目の角度が180度で直線になるので、1個減って15角形。

だから、、答えは、9角形と15角形


形はこんな感じ。前者は凸ですが、後者は凹みます。


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